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小升初数学常用巧算和速算方法
在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢?这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。
一、“凑整”先算
1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47
解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
(2)53+36+47=53+47+36=(53+47)+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.
2.计算：(1)96+15 (2)52+69
解：(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.
(2)52+69=(21+31)+69=21+(31+69)=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
3.计算：(1)63+18+19 (2)28+28+28
解：(1)63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
(2)28+28+28=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变
计算：(1)45-18+19 (2)45+18-19
解：(1)45-18+19=45+19-18=45+(19-18)=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：
(1)计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是5=45 共9个数
(2)计算：1+3+5+7+9=5×5 中间数是5=25 共有5个数
(3)计算：2+4+6+8+10=6×5 中间数是6=30 共有5个数
(4)计算：3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数
(5)计算：4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：
(1)计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
(2)计算：
3+5+7+9+11+13+15+17=(3+17)×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
(3)计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(2+20)×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
(1)计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.
(2)计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：(实际上就是把有的加数带有符号搬家)
102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.
数学常用巧算和速算方法
加法中的巧算
1.什么叫“补数”?
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。
又如：11+89=100，33+67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，
在上面算式中，1叫9的“补数”;89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。
如： 87655→12345， 46802→53198，87362→12638，…下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。
2.互补数先加。
例1 巧算下面各题：
①36+87+64②99+136+101
③ 1361+972+639+28
解：①式=(36+64)+87=100+87=187
②式=(99+101)+136=200+136=336
③式=(1361+639)+(972+28)=2000+1000=3000
3.拆出补数来先加。
例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203
解：①式=(188+12)+(873-12)=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4)=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)=10000+101=10101
4.竖式运算中互补数先加。
二、减法中的巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
例 3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解：①式= 300-(73+ 27)=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)=1000-200=800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例4① 4723-(723+189)② 2356-159-256
解：①式=4723-723-189=4000-189=3811
②式=2356-256-159=2100-159=1941
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算(注意把多加的数再减去，把多减的数再加上)。
例 5 ①506-397②323-189③467+997④987-178-222-390
解：①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上)=109
②式=323-200+11(把多减的11再加上)=123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再减去)=1464
④式=987-(178+222)-390=987-400-400+10=197
三、加减混合式的巧算
1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+a+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例6 ①100+(10+20+30)
② 100-(10+20+3O)
③ 100-(30-10)
解：①式=100+10+20+30=160
②式=100-10-20-30=40
③式=100-30+10=80
例7 计算下面各题：
① 100+10+20+30② 100-10-20-30③ 100-30+10
解：①式=100+(10+20+30)=100+60=160
②式=100-(10+20+30)=100-60=40
③式=100-(30-10)=100-20=80
2.带符号“搬家”
例8 计算 325+46-125+54
解：原式=325-125+46+54=(325-125)+(46+54)=200+100=300
注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。
3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉
例9 计算9+2-9+3
解：原式=9-9+2+3=5
4.找“基准数”法
几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。
例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85=640
1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：
5×2=10
25×4=100
125×8=1000
例1 计算①123×4×25② 125×2×8×25×5×4
解：①式=123×(4×25)=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)=1000×100×10=1000000
2.分解因数，凑整先乘。
例 2计算① 24×25② 56×125③ 125×5×32×5
解：①式=6×(4×25)=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)=1000×100=100000
3.应用乘法分配律。
例3 计算① 175×34+175×66
②67×12+67×35+67×52+6
解：①式=175×(34+66)=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)= 67×100=6700
(原式中最后一项67可看成 67×1)
例4 计算① 123×101 ② 123×99
解：①式=123×(100+1)=123×100+123=12300+123=12423
②式=123×(100-1)=12300-123=12177
4.几种特殊因数的巧算。
例5 一个数×10，数后添0;一个数×100，数后添00;一个数×1000，数后添000;以此类推。
如：15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6 一个数×9，数后添0，再减此数;一个数×99，数后添00，再减此数;一个数×999，数后添000，再减此数; …以此类推。
如：12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。
如：6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。
如 2222×11=24442
2456×11=27016
例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.
24×15=(24+12)×10=360
因为24×15= 24×(10+5)=24×(10+10÷2)=24×10+24×10÷2(乘法分配律)=24×10+24÷2×10(带符号搬家)=(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字×(十位数字加1)×100+25
如15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
二、除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中，利用商不变的性质巧算
商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外)，商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。
例11 计算①110÷5②3300÷25
③ 44000÷125
解：①110÷5=(110×2)÷(5×2)=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)=13200÷100=132
③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)=352000÷1000=352
2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。
例12 864×27÷54=864÷54×27=16×27=432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。
例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5
③2090÷24-482÷24
④187÷12-63÷12-52÷12
解：①13÷9+5÷9=(13+5)÷9=18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5=15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24=1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12=(187-63-52)÷12=72÷12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。
即a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号，
a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例14 ①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解：① 1320×500÷250=1320×(500÷250)=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81=(2997÷81)×(729÷81)=37×9=333
例1 计算9+99+999+9999+99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)=10+100+1000+10000+100000-5=111110-5=111105.
例2 计算199999+19999+1999+199+19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200)
199999+19999+1999+199+19=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=22225.
例3 计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：
从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：
从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.
1990×497+995—1990×497=995.
例4 计算 389+387+383+385+384+386+388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.
389+387+383+385+384+386+388=390×7—1—3—7—5—6—4—=2730—28=2702.
解法2：也可以选380为基准数，则有
389+387+383+385+384+386+388=380×7+9+7+3+5+4+6+8=2660+42=2702.
例5 计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来，而是运
=4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)
=4940+1
=4941.
例6 计算54+99×99+45
解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例7 计算 9999×2222+3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例8 1999+999×999
解法1：1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2：1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
有多少个零.
总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.
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